Differenziale di una funzione

Differenziale di una funzione

Sia y = f(x) una funzione derivabile in un intervallo I ed x un punto appartenente ad I. Attribuiamo ad x un incremento Δx ottenendo il punto x + h che appartiene anch’esso ad I .

Si definisce differenziale della funzione f(x) , relativo al punto x e all’incremento Δx,il prodotto della derivata prima della funzione , calcolata in x, per l’incremento Δx.

Il differenziale si indica con df(x) o con dy e quindi si ha : dy = f'(x) Δx.

Se consideriamo la funzione identica y =x e ne calcoliamo il differenziale abbiamo dy = dx = 1·Δx e quindi dx = Δx ; questo significa che il differenziale della variabile indipendente x è uguale all’incremento della variabile stessa. Se allora possiamo sostituire dx a Δx scrivere dy = f'(x) dx e dire che il differenziale di una funzione è il prodotto della sua derivata prima per il differenziale della variabile indipendente.

Dall’ultima relazione scritta deduciamo che f'(x) = dy / dx (notazione di Leibniz) e quindi che la derivata prima di una funzione è il rapporto tra il differenziale della f(x) e quello della variabile indipendente x.

Interpretazione geometrica del differenziale

Consideriamo il grafico di una funzione y=f(x) , relativamente ad un intervallo [x, x+h], essenndo h un incremento insenso algebrico (quindi anche negativo)

Siano P0 e P i punti della curva di ascisse rispettivamente x ed x+h (vedi figura seguente).

Dalla figura si nota che l’incremento della funzione relativo all’incremento h della variabile x è :

Δy = PA = f(x+h) - f(x) (colore verde)

Tracciata la tangente t alla curva nel punto P , sia T il punto in cui questa retta incontra il segmento QQ’.

Nel triangolo rettangolo P0AT si ha che TA = P0A·tgα (colore rosso) e, ricordando il significato geometrico della derivata, cioè che tgα = f'(x), abbiamo: TA = h · f'(x) ovvero TA = d(f(x) = dy

Da ciò deduciamo il significato geometrico del differenziale : esso è la misura del segmento TA , cioè l’incremento che subisce l’ordinata di un punto che si muove sulla tangente alla curva grafico di f(x) quando la sua ascissa viene incrementata di h.

Possiamo anche notare che la differenza fra l’incremento Δy, cioè PA e il differenziale dy, cioè TA, rappresenta il segmento PQ che tende a zero al tendere a zero dell’incremento h.

Si può quindi concludere che il differenziale può sostituire, approssimandolo, l’incremento della funzione , purchè il punto Q sia molto vicino a P.

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Forniamo ora alcuni esempi di calcolo di differenziali:

y = f(x)
dy = f'(x) dx
y = x2+ 2x dy = d(x2+ 2x) dy = (2x+2) dx
y = ex+1 dy = d(ex+1)
dy = ex dx
y = senx + cos x
dy = d( ) dy = ( ) dx
t = ex
x = ln t
dx =
√x = t x = t2
dx =
lnx = t
x =
dx =